Hey Emil. Heute gehst du alle Themen durch — eins nach dem anderen. Diese Blätter führen dich durch alles. Kein Thema ist besonders schwer, wenn man es Schritt für Schritt angeht. Auf jedem Blatt steht zuerst eine Erklärung, dann ein Musterbeispiel das du nachmachst — und erst dann kommen deine eigenen Aufgaben. So hast du die beste Chance, morgen sicher zu sein.
Text → Gleichungen aufstellen → lösen → Antwortsatz. Ohne Antwortsatz gibt's Abzug!
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Blatt 6 — Selbsttest Alleine
Alle 5 Themen · ohne Hilfe · wie in der echten Arbeit · Foto machen wenn fertig.
✓ Jeden Schritt aufschreiben — nichts im Kopf
✓ Immer Probe rechnen — die bringt Punkte
✓ Bei Textaufgaben: Antwortsatz nicht vergessen
✓ Skizze zuerst bei Dreiecksaufgaben
✗ Kein Telefon in den 20-Min-Blöcken
✗ Keine Rechenschritte überspringen
Blatt 1 von 5
Lineare Funktionen
Name: Datum:
Eine lineare Funktion beschreibt eine Gerade im Koordinatensystem. Die Formel y = mx + n sieht erstmal kompliziert aus, aber dahinter stecken nur zwei Fragen: Wie steil ist die Gerade? — das verrät dir m, die Steigung. Und: Wo trifft sie die y-Achse? — das ist n, der y-Achsenabschnitt. Mehr steckt da wirklich nicht drin.
Stell dir m wie eine Treppe vor. m = 2 heißt: einen Schritt nach rechts, zwei Schritte hoch ↗. m = −1 heißt: einen Schritt nach rechts, einen Schritt runter ↘. Das war der häufigste Fehler beim letzten Test: Eine Gerade die von links nach rechts nach unten läuft, hat eine negative Steigung (m < 0). Fahr mit dem Finger die Gerade entlang — geht er runter? Dann ist m negativ. Das reicht als schneller Check.
Wenn du die Gleichung aus zwei Punkten bestimmen musst: Zuerst m ausrechnen (y-Differenz geteilt durch x-Differenz — immer y durch x, nie umgekehrt). Dann n. Liegt einer der Punkte auf der y-Achse (x = 0), kannst du n direkt ablesen. Liegt er woanders, setzt du den Punkt in y = mx + n ein und löst nach n auf. Dann Probe mit dem zweiten Punkt.
Das Rezept — auswendig lernen
y = m · x + n
m = Steigung → m > 0: Gerade geht hoch ↗ | m < 0: runter ↘ | m = 0: waagerecht →
m aus zwei Punkten: m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) — immer y durch x, nicht umgekehrt!
n = y-Achsenabschnitt → x = 0 einsetzen → y = n
Nullstelle: y = 0 setzen → 0 = mx + n → x = −n/m
Musterbeispiel — erst lesen, dann auf Papier nachmachen
Gegeben: A(0 | 1) und B(2 | 5). Gesucht: Funktionsgleichung y = mx + n
1
m berechnen — y-Differenz durch x-Differenz: m = (5 − 1) ÷ (2 − 0) = 4 ÷ 2 = 2
→ positiv! Die Gerade geht nach oben ↗
2
n ablesen: A liegt bei x = 0, also ist n dort direkt ablesbar. n = 1
3
Gleichung aufschreiben: y = 2x + 1
4
Probe mit B: y = 2 · 2 + 1 = 5 ✓
⚠ Der häufigste Fehler: Eine Gerade die von links nach rechts nach unten geht, hat eine negative Steigung (m < 0). Fahr mit dem Finger von links nach rechts — geht er hoch? → m positiv. Runter? → m negativ. Ganz einfach.
Jetzt du! — Auf Karopapier rechnen, hier Ergebnisse eintragen
Aufgabe 1
Bestimme die Funktionsgleichung. Gegeben: A(0 | −1) und B(2 | 3)
y = Steigung: positiv / negativ (umkreisen)
Aufgabe 2 — Achtung, Falle!
Bestimme die Funktionsgleichung. Gegeben: A(0 | 5) und B(3 | 2) Der y-Wert sinkt von 5 auf 2 — was bedeutet das für die Steigung?
y = Steigung: positiv / negativ (umkreisen)
Aufgabe 3 — n berechnen wenn kein Punkt auf der y-Achse liegt
Gegeben: A(2 | 5) und B(4 | 11). Diesmal liegt kein Punkt auf der y-Achse — du musst n extra berechnen. Erst m bestimmen. Dann einen Punkt (z.B. A) in y = mx + n einsetzen und n ausrechnen.
y =
Aufgabe 4 — Nullstelle
Von der Geraden y = 3x − 6 ist die Nullstelle gesucht. Die Nullstelle ist der Punkt wo die Gerade die x-Achse schneidet — dort gilt immer y = 0. Setze y = 0 ein: 0 = 3x − 6 → x = ?
Nullstelle bei x = Also Punkt: ( | 0 )
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Blatt 2 von 5
Satz des Pythagoras
Name: Datum:
Stell dir vor, eine Leiter lehnt an einer Wand. Du weißt wie lang sie ist und wie weit der Fuß von der Wand entfernt steht — aber wie hoch reicht sie? Genau das löst der Satz des Pythagoras. Er gilt für jedes rechtwinklige Dreieck, ohne Ausnahme: a² + b² = c².
Die wichtigste Frage zuerst: Welche Seite ist c? Das ist immer die Hypotenuse — die längste Seite, die dem rechten Winkel direkt gegenüberliegt. Die anderen zwei Seiten (a und b) sind die Katheten. Bevor du irgendwas rechnest: Skizze zeichnen, rechten Winkel einzeichnen, alle bekannten Seiten beschriften. Diese eine Minute Skizze ist keine Zeitverschwendung — sie rettet dich vor dem Klassiker-Fehler.
Der Klassiker-Fehler: Du suchst eine Kathete und addierst trotzdem. Richtig ist: Kathete gesucht → subtrahieren. a = √(c² − b²). Das Minus ist entscheidend. Sag es einmal laut: "Kathete suchen heißt minus." Das reicht als Merkregel.
Die drei Varianten — alle auswendig
a² + b² = c²
c gesucht (Hypotenuse): c = √(a² + b²) — beide Katheten addieren, dann Wurzel
a gesucht (Kathete): a = √(c² − b²) — bei Kathete: von c² subtrahieren!
b gesucht (Kathete): b = √(c² − a²) — gleiche Idee, andere Kathete
⚠ Kathete gesucht → von c² ABZIEHEN. Niemals addieren!
Musterbeispiel — Kathete gesucht
Schrägstrecke s = 220 cm, Abstand h = 70 cm. Gesucht: senkrechte Strecke e.
1
Skizze zeichnen (siehst du links). s = Hypotenuse (c). h und e = Katheten (a, b).
2
Kathete gesucht → von c² subtrahieren: e = √(s² − h²) e = √(220² − 70²) e = √(48 400 − 4 900) e = √43 500 ≈ 208,6 cm
3
Probe: 70² + 208,6² ≈ 48 414 ≈ 220² ✓ e ≈ 208,6 cm
Jetzt du! — Skizze zuerst, dann rechnen, dann Probe
Aufgabe 1 — Hypotenuse gesucht
Dreieck mit Katheten a = 6 cm und b = 8 cm. Berechne die Hypotenuse c. Tipp: 6-8-10 ist ein bekanntes pythagoreisches Tripel — rechne nach!
c = cm Probe:
Aufgabe 2 — Kathete gesucht
Hypotenuse c = 13 cm, Kathete a = 5 cm. Berechne b. Kathete gesucht → subtrahieren: b = √(c² − a²)
b = cm Probe:
Aufgabe 3 — Höhe im gleichschenkligen Dreieck
Gleichschenkliges Dreieck: Schenkel s = 10 cm, Basis g = 12 cm. Berechne die Höhe h. Die Höhe halbiert die Basis! Es entsteht ein rechtwinkliges Dreieck mit s als Hypotenuse und g/2 = 6 cm als einer Kathete.
h = cm
Aufgabe 4 — Raumdiagonale (war in deinem AB!)
Ein Quader hat die Maße a = 4 cm, b = 3 cm, c = 5 cm. Berechne die Raumdiagonale d. Zwei Schritte: (1) Bodendiagonale d₁ = √(a² + b²) → (2) Raumdiagonale d = √(d₁² + c²)
d₁ = cm d = cm
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Blatt 3 von 5
LGS algebraisch
Name: Datum:
Ein lineares Gleichungssystem (LGS) klingt kompliziert, aber der Kern ist einfach: Du hast zwei Unbekannte (x und y) und zwei Hinweise — die zwei Gleichungen. Beide Gleichungen müssen gleichzeitig wahr sein. Dein Ziel ist, die zwei Zahlen zu finden, die in beide Gleichungen passen.
Beim Gleichsetzen-Verfahren nutzt du einen eleganten Trick: Du bringst beide Gleichungen in die Form y = … Jetzt weißt du: Beide rechten Seiten sind gleich groß — weil beide ja y sind. Du setzt sie also gleich und hast plötzlich eine Gleichung mit nur noch einem x. Das kannst du lösen. Dann x einsetzen, y berechnen, fertig.
Am Ende steht immer die Probe — das ist keine optionale Bonus-Aufgabe, sondern Pflicht. Setze x und y in beide Originalgleichungen ein und prüfe ob beide Seiten stimmen. Wenn ja: richtig. Wenn nein: irgendwo steckt ein Rechenfehler. Besser jetzt finden als in der Arbeit morgen.
Das Gleichsetzen-Verfahren — dein Hauptwerkzeug
Schritt 1: Beide Gleichungen nach y auflösen → y = … und y = …
Schritt 3: x einsetzen → y berechnen | Schritt 4: Probe in beiden Originalgleichungen!
Musterbeispiel — Schritt für Schritt
Gegeben: I: y = 2x + 1 II: y = −x + 4
1
Beide schon nach y aufgelöst ✓ → Jetzt gleichsetzen: 2x + 1 = −x + 4
2
Alle x auf eine Seite bringen: 2x + x = 4 − 1 3x = 3 → x = 1
3
y berechnen — x = 1 in Gleichung I einsetzen: y = 2 · 1 + 1 = 3
4
Probe in Gleichung II: y = −1 + 4 = 3 ✓ L = {(1 | 3)}
Wenn eine Gleichung noch nicht nach y aufgelöst ist (z.B. "2x + 3y = 9"), erst umformen: 3y = 9 − 2x → y = 3 − ⅔x. Dann wie oben weiter.
Zweites Verfahren: Addition — wenn sich Terme schön aufheben
Wenn du beide Gleichungen addierst und dabei eine Unbekannte wegfällt, bist du fertig. Das klappt wenn die Koeffizienten einer Variable entgegengesetzt sind (z.B. +3y und −3y).
Beispiel: I: 2x + 3y = 12 II: x − 3y = 0 I + II: 3x + 0 = 12 → x = 4 Einsetzen in II: 4 − 3y = 0 → y = 4/3 L = {(4 | 4/3)}
Jetzt du! — Alles aufschreiben, Probe nicht vergessen
Aufgabe 1
Löse das Gleichungssystem: I: y = 3x − 2 II: y = x + 4
L = {( | )} Probe I: II:
Aufgabe 2
Löse das Gleichungssystem: I: y = −2x + 7 II: y = x + 1
L = {( | )} Probe I: II:
Aufgabe 3 — erst umformen, dann lösen
Löse das Gleichungssystem: I: −4x + 8y = −2 II: −7x − 28y = 126 Forme beide Gleichungen zuerst nach y um, dann wie oben.
L = {( | )} Probe:
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Blatt 4 von 5
LGS grafisch
Name: Datum:
Beim grafischen Verfahren machst du das Unsichtbare sichtbar: Jede Gleichung ist eine Gerade. Du zeichnest beide in ein Koordinatensystem — und genau dort, wo sie sich treffen, liegt die Lösung des Gleichungssystems. Kein großes Rechnen: dein Auge liest die Antwort ab.
Der Ablauf ist immer gleich. Zuerst eine Wertetabelle für jede Gleichung — drei Punkte reichen. Dann die Punkte eintragen und mit dem Lineal durchziehen. Das Lineal ist kein optionales Werkzeug, sondern Pflicht: Eine Gerade aus der Hand wird krumm, und ein krummer Schnittpunkt ist ein falscher Schnittpunkt.
Sonderfall: Was wenn sich die Geraden nicht schneiden? Das passiert bei Parallelgeraden — gleiche Steigung (m), verschiedenes n. Sie laufen nebeneinander her und treffen sich nie. Die Lösung heißt dann L = Ø. Das ist eine vollständige und richtige Antwort — nicht Panik, wenn du das siehst.
Vorgehen — immer dieselben 4 Schritte
1. Wertetabelle für jede Gleichung (mind. 3 Punkte)
2. Punkte eintragen, Geraden mit Lineal durchziehen
3. Schnittpunkt ablesen → L = {(x | y)} aufschreiben
4. Probe: beide Werte in beide Gleichungen einsetzen
Wertetabelle für y = x − 1
x
−1
0
1
2
y
−2
−1
0
1
Wertetabelle für y = −3x + 3
x
−1
0
1
2
y
6
3
0
−3
Schnittpunkt: Beide Geraden treffen sich bei x = 1, y = 0. Probe I: y = 1 − 1 = 0 ✓ Probe II: y = −3·1 + 3 = 0 ✓ L = {(1 | 0)}
Jetzt du! — Wertetabelle ausfüllen, dann zeichnen
Aufgabe: I: y = 2x − 1 II: y = −x + 2
Wertetabelle für y = 2x − 1:
x
−1
0
1
2
y
Wertetabelle für y = −x + 2:
x
−1
0
1
2
y
L = {( | )} Probe:
⚠ Sonderfall — Parallelgeraden: Zwei Geraden mit gleicher Steigung (gleiches m) aber verschiedenem n schneiden sich nie. Sie laufen parallel nebeneinander her. Lösung: L = Ø (keine Lösung). War in deinem AB dabei — erkennst du das an der Zeichnung sofort.
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Blatt 5 von 5
LGS Textaufgaben
Name: Datum:
Textaufgaben schüchtern viele ein — weil der Text lang aussieht und man nicht weiß wo man anfangen soll. Aber das Schema dahinter ist immer gleich. Stell dir vor, du bist ein Detektiv: Im Text verstecken sich zwei Hinweise. Deine Aufgabe ist, diese Hinweise als Gleichungen aufzuschreiben.
Der erste Schritt ist der wichtigste und wird am häufigsten übersprungen: Benenne deine Variablen. Schreib auf: "Sei x = ... und y = ...". Dieser eine Satz am Anfang macht alles einfacher — und er zeigt dem Lehrer, dass du genau weißt was du tust. Dann kommen die zwei Gleichungen aus dem Text, dann lösen mit dem Gleichsetzen-Verfahren, dann Probe.
Der letzte Schritt wird fast immer vergessen: der Antwortsatz. Nicht nur "x = 5" hinschreiben — das reicht nicht. Schreib einen vollständigen Satz der die ursprüngliche Frage beantwortet: "Ein Kinderticket kostet 5 €." Mit Antwortsatz: volle Punktzahl. Ohne Antwortsatz: Abzug. Es kostet dich 10 Sekunden.
Das 5-Schritt-Schema für jede Textaufgabe
1.Was ist x? Was ist y? — Klar benennen: „Sei x = ... und y = ..."
2.Gleichung I aufstellen — aus dem ersten Hinweis im Text
3.Gleichung II aufstellen — aus dem zweiten Hinweis im Text
4.LGS lösen — Gleichsetzen-Verfahren wie auf Blatt 3
5.Antwortsatz schreiben — Frage im vollständigen Satz beantworten!
Musterbeispiel — lies jeden Schritt, mach ihn dann nach
Im Kino kosten ein Kinderticket und ein Erwachsenenticket zusammen 19 €. Zwei Kindertickets und ein Erwachsenenticket kosten 24 €. Was kostet jedes Ticket?
1
Variablen benennen — immer zuerst! x = Preis Kinderticket (in €) y = Preis Erwachsenenticket (in €)
2
Gleichung I (aus Satz 1 — "zusammen 19 €"): x + y = 19
3
Gleichung II (aus Satz 2 — "zwei Kinder + ein Erwachsener = 24 €"): 2x + y = 24
4
LGS lösen — I nach y: y = 19 − x → in II einsetzen: 2x + (19 − x) = 24 → x = 5 y = 19 − 5 = 14 Probe I: 5+14=19 ✓ Probe II: 10+14=24 ✓
5
Antwortsatz — vollständiger Satz! Ein Kinderticket kostet 5 €, ein Erwachsenenticket kostet 14 €.
Jetzt du! — Schema anwenden, Antwortsatz nicht vergessen
Aufgabe 1
Zwei Zahlen addiert ergeben 20. Die doppelte erste Zahl minus die zweite Zahl ergibt 4. Wie heißen die Zahlen? Schritt 1: Sei x = erste Zahl, y = zweite Zahl. Dann Gleichungen aufstellen.
Antwort:
Aufgabe 2
Noah und Mia haben zusammen 960 € gespart. Noah hat 300 € mehr als Mia. Wie viel hat jeder gespart? "Noah hat 300 € mehr" → Noah = Mia + 300 → das ist deine zweite Gleichung.
Antwort:
Aufgabe 3
Ein Rechteck hat einen Umfang von 34 cm. Die Länge ist 5 cm mehr als die Breite. Berechne Länge und Breite. Umfang: 2·Länge + 2·Breite = 34. Das ist Gleichung I. "Länge = Breite + 5" ist Gleichung II.
Antwort:
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Blatt 6
Selbsttest
Name: Datum:
Das ist deine Generalprobe. Kein Nachschauen, keine Notizen, keine Hilfe — nur du und dein Wissen. Genau wie morgen in der Arbeit. Wenn du fertig bist, mach ein Foto und schick es ab.
Lineare Funktionen
Punkte A(0 | −3) und B(4 | 5). Bestimme y = mx + n.
y =
Satz des Pythagoras
Dreieck mit a = 9 cm und b = 12 cm. Gesucht: c. (Skizze zuerst!)
c = cm
LGS algebraisch
Löse: I: y = 2x − 3 II: y = −x + 6
L = {( | )} Probe:
LGS grafisch
Zeichne: y = x + 1 und y = −2x + 4. Erst Wertetabellen, dann einzeichnen, dann Schnittpunkt ablesen + Probe.
y = x + 1
x
0
1
2
y
y = −2x + 4
x
0
1
2
y
L = {( | )} Probe:
LGS Textaufgabe
Zwei Zahlen: ihre Summe ist 15, ihre Differenz ist 3. Bestimme beide Zahlen.
Antwort:
Lösungen — erst nachschauen wenn wirklich alles fertig ist:
LinFkt: y = 2x − 3 · Pyth: c = 15 cm · LGS algebra: L = {(3 | 3)} · LGS grafisch: L = {(1 | 2)} · Text: 9 und 6
Bonus — wenn du schneller warst als gedacht
Zusatz-Aufgaben
Name:
Gut gemacht, dass du früher fertig bist! Diese Aufgaben sind angeleitet — du siehst jeden Schritt und füllst nur die Lücken aus. So festigst du das Gelernte, ohne wieder von null anfangen zu müssen.
Gegeben: y = ½ · x − 3. Fülle die Wertetabelle aus und berechne die Nullstelle.
x
0
2
4
6
y = ½x − 3
½ · 0 − 3 =
½ · 2 − 3 =
½ · 4 − 3 =
½ · 6 − 3 =
Nullstelle: setze y = 0 ein → 0 = ½ · x − 3 → ½ · x = → x =
Bonus 2 — Pythagoras: Leiter an der Wand
Eine Leiter ist s = 100 cm lang. Der Fuß steht h = 60 cm von der Wand entfernt. Wie hoch reicht sie an der Wand?
Hypotenuse = cm bekannte Kathete = cm Gesucht: e
e = √(s² − h²) = √( ² − ² ) = √( − ) = √ = cm
Probe: ² + ² = = 100² ✓
Bonus 3 — LGS mit Additions-Verfahren
Löse: I: 3x + 2y = 16 II: x − 2y = 0 Tipp: addiere I + II — die y-Terme verschwinden!
I + II: (3x + x) + (2y − 2y) = 16 + 0 → x = → x =
x in II: − 2y = 0 → 2y = → y =
Probe I: 3 · + 2 · = ✓ L = {( | )}
Bonus 4 — Parallelgeraden erkennen (L = Ø)
Gegeben: I: y = 2x + 1 II: y = 2x − 3
Steigung von I: m = Steigung von II: m =
Sind die Steigungen gleich? ja / nein (umkreisen) → Geraden sind: parallel / schneiden sich (umkreisen)
y-Achsenabschnitt I: n = II: n = → Identisch? ja / nein
Lösung: L = (Ø wenn parallel und verschiedenes n)
Bonus 5 — LGS Textaufgabe: Kiosk
Noah kauft 3 Äpfel und 2 Bananen für 3,10 €. Mia kauft 1 Apfel und 4 Bananen für 3,70 €. Was kostet ein Apfel (x), was eine Banane (y)?
Sei x = Preis eines Apfels, y = Preis einer Banane (in €).
Gleichung I (Noah): · x + · y =
Gleichung II (Mia): · x + · y =
I nach x umformen: x = in II einsetzen → y = €
x berechnen: x = € Apfel: ___ € Banane: ___ €